为什么真正聪明的人都是概率大师？

也许，可以这么讲，这是由于，在他们小时候，所处的生活环境，乃是一个那种犹如天然存在的概率训练场，又或许，是起因于，大脑作为一个机体，其自身本来就是一台概率机器 。

有多少人懂得概率计算？

大约1%吧，实话说可能更少。

懂得概率计算的人里，有多少人懂得概率思考？

再来个1%。

懂得概率思考的人里，有多少人懂得概率行动？

还是1%吧。

然而，经过这样统计计算，在全球范围内，真正明白概率行动的人数量并不多，并且如此这般的计算方式违背了此前我所说的内容，也就是说存在一些人，他们天生就具备概率行动的能力，于此并不需懂得计算 。

所以，修正一下，把后面的两个1%改成10%。

于是，可以得出，有意识的概率行动者，大约万分之一。

也就是说，在千万级人口的城市里，有几千个“概率高手”。

估计你也许会讲，这怎么可能对呢，像北京、上海、广州、深圳这类有着千万人口的城市，在每一处地方，仅仅是亿万富翁的数量都不只是几千个呀？

存在着不少有钱人，然而其中有很多仅仅依靠运气，属于那种有着“随机漫步特点的傻瓜”，并非是概率方面的高手，。

层 级 一

概率计算

要是你打算去应对这世间的不确定性，并且要与随机性一同起舞，那你就一定得明白概率计算。

那么，一个普通人到底要掌握多少概率公式，才够用呢？

我的答案是：零。

没错，你一个公式都不用记。

爱因斯坦说：

“科学知识并非是大量的、莫名其妙的结论，它而言，是那一种只要每个人依照正确的思维方式，自己理应且也能够推导出来的结论。” ， 。

学习科学的过程，就是自己得出这个结论的过程。”

几率的算式原本就十分简易，要是你可以拆解这些算式，亲自从起始去推导，那你就始终无需去记这些算式。

若是针对那些对概率公式熟知的人，我同样提议你一块来做一回“从起始处开始推导”，如此一来你便会发觉，差不多能够解决全部的“难度等同于硅谷面试题水准”的概率趣味题目，绝对能够在“普通人群圈子”中占据优势。

如何从头推导？

我想和你分享的是“平行宇宙法”。

打个比方来讲，我们去投掷一个符合标准的六面骰子，众人均知，你获取到任凭哪一个面的可能性都是六分之一 。

只是好多人就算明白这个简易的事理，却也没办法通过感官去领会。他会思索：骰子落到地上，将必定100%出现某个数字，那1/6又有啥意思呢？

好似有一回我跟一位友人谈论特斯拉电动车辆的自燃比率，我告知他依据行驶的里程数，特斯拉官方所公布的自燃比率相较于燃油车辆低五百个百分点。

某个朋友讲，无论你特斯拉整体的自燃比例究竟能低到何种程度，（一旦出现自燃情况）对于随便哪一位车主来讲那可都是百分之百……电动车辆发生自燃这种状况或许属于小概率情形，然而对于牵涉其中的车主而言，那绝对是百分百的糟糕消息。

这就是聪明的概率无知者。

事实上，特斯拉的那种说法是存在着漏洞的，原因在于，他们理应与车龄相同、级别一样的车辆去进行对比，如此这般才算是公平的，然而，这却是唯有更加聪明的人方可提出的问题了。

回到我们的“平行宇宙法”：

你将一个骰子扔出的那一瞬间，当下存在的宇宙分裂成为了6个平行宇宙。具体情况如下，。

所以，哪怕在现实里，看上去骰子落地之际，只会有某一个确定的面朝上，然而当你（不以作弊的方式）随机抛出骰子之时，骰子的未来一分为六，形成了六个平行宇宙，它们是骰子落地后的六种结果，分别为：1，2，3，4，5，6 。

但是，我们的现实，只能选择6个宇宙中的一个。

之所以6个宇宙把“未来的可能性”进行了平分，是由于标准骰子的六个面呈现出一样的状态 。

所以某一面出现的可能性，也就是概率，是1/6。

那么，扔一个骰子，得到偶数的概率是多少呢？

把2、4、6三个平行宇宙的三个1/6加起来，等于1/2。

那知晓概率计算的人，必然会对恰似这般啰嗦之我流露不屑，那就请持续坚持一下，而后再继续往下看。

一种在物理学里尚未证实的假说，被称作“平行宇宙论”，它也被叫做多重宇宙论，还被叫做多元宇宙论 。

于我们既定认为的那个宇宙之外，极有可能另外存在着别种的那么些宇宙，而这些别样存在的那些，是一种对宇宙可能呈现状态的反映，这些宇宙，有可能其具备的基本物理常数和我们平常所理解认知的那个宇宙是一样的，也有可能是不一样的。

美国哲学家与心理学家威廉·詹姆士，于1895年提出了多重宇宙这个名词 。

经常被用来进行说明的是平行宇宙，存在于不同平行宇宙里的是，一个事件不一样的过程，或者一个不同决定的后续发展 。

（以上来自维基百科）

对于平行宇宙的理论，我个人并没有太多兴趣，然而，却认为将其用于描述概率，是极为直观的 。

而且，这可以使我们，从哲学层面，去理解概率里的“发生”，还能从“实在”层面，去理解概率里的“未发生”。

比如说，倘若存在一件事情，其产生的概率为80%，然而最终的情况却是，这件事情并未得以发生，好多人会依据此情形去质疑概率所具备的意义。

借助平行宇宙的理论，我们能够讲，除了需查验80%发生概率的精准度，能够觉得我们落入了20%“不发生”的平行宇宙，这并无奇特之处，这是一个句子，这是一个标点符号。

最近有位物理学家认为，我们处于上层宇宙的一个黑洞中。

这个颇令人震惊的新观点是，我们熟知的宇宙，或许是从别的宇宙之中的“黑洞”产生而来，大爆炸乃是一个由黑洞“炸出”另一个宇宙的进程。

我们，对于那充满不确定性的未来，对于自己仿佛“命中注定”的命运，而且，对于比电影更是精彩纷呈（或者是“更为悲催”）的现实；不可避免地，会进而拥有一些疑惑，以及满怀感慨。

让我们回到现实世界的概率话题。

现在我们把问题变成扔两个骰子。

请问扔两个骰子，得到两个6的可能性是多大？

太简单了，1/6️1/6=1/36。

但是，为什么要这么计算呢？

我晓得你明白，关于那两个相互独立的事件A以及B，它们同时出现的概率，等同于A出现的概率与B出现的概率相乘的结果，然而咱们之前可是讲好了不运用公式的呀。

所以，让我们继续用平行宇宙的可视化计算法。

扔两个骰子，其实是它们的宇宙分裂了两次，如下图：

第一次：扔第一个骰子时，宇宙分裂成了六个（绿色）；

重新再来一次：当扔第二个骰子之际的时候，每一个呈现绿色的宇宙又各自分别分裂成为了六个（呈现蓝色的）。

于是我们得到了36个平行宇宙。

现今，我们来寻觅一番，于这 36 个平行宇宙当中，究竟有着多少数量的平行宇宙，是属于那种两个骰子一概齐处于数字 6 的这般状态呢。

答案处于右下角，仅存在单一个，因此，获取两个6的概率为1/36 。

用“平行宇宙法”，看起来复杂，但直观，而且可感知。

这正是爱因斯坦所说的：

每个人按照正确的思维方式自己应当并且也能够推导出的结论。

更关键的是，我们可以用这种零公式的方法，来解答更难的题目。

绝大多数问题皆是人生以及工作范畴内的难题，我竭尽所能，以一种力图显得机智且具备诚意的方式予以回答（当下已然差不多快要伪装不下去了）。间或会出现数学题目，比如像下面提及的这个：

这个问题看起来简单，我猜90%的人不会做。

会做的那10%，其中可能只有1%能说明白为什么这么做。

让我继续采用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。

如同题目所说，鉴于1能够是3这种情况，所以我们能够将问题予以简化，单个骰子获取3的概率是2除以6等于1除以3 。

在下图中：

用红球来标记1和3，出现的概率是1/3；

用黑球来标记其他可能，出现的概率是2/3；

扔三个球，作为独立事件，相当于爆炸了三次，如下图。

分裂了三次之后，一共产生了3️3️3=27种可能。

我们来检查一下，这27个平行宇宙中，有多少个是两个红色球？

如下图所示，从右边朝着左边逆向追溯回去，每一条线上所存在的三个球，便是处于该平行宇宙情形下的三球分布状态。

其中，画红钩的6个符合条件。

所以，答案是：6/27=2/9。

我们也可以用排列组合法来做：

1/3️2/3️1/3️3=6/27=2/9。

但我们说了，不用一个公式。

开始提问者最后半截讲述 ，摇骰子 ，获取三个3 （1也能够是3 ）所需概率乃1 / 27 。

下面这道题，已经进入高手级别了，但是我们依然不用任何公式。

更有意思的是，你能够用下面这道题致使普通人产生迷惑的所在之处，于酒吧里跟人进行打赌。当然啦，并非是真的打赌哟。

帽子当中存在着三张卡片，其中一张卡片的两面都是呈现红色的，也就是“红 – 红”，另外一张卡片的两面都是白色的，即“白 – 白”，还有一张卡片一面是红色一面是白色，为“红 – 白”。

随机地从里面抓取一张卡片，而后将其扔向空中，卡片落地之后呈现出红色一面朝上的情况。进行询问：这张卡片属于“红 – 红”这种类型的概率究竟是多少呢？

请你准备三张纸片，写成上面的样子，以便更直观地思考。

乍瞅着蛮简易，依据已有的信息看，这张牌子要么是那一张（“红 – 红”），要么是（“红 – 白”）这般的，这两者呈现出来的可能性是相同的，所以是“红 -红”此概率乃是50%，难道不是这样的？

正确答案是：2/3。

《不确定世界的理性选择》一书中，对此给出了清晰直观的解答。

正确的问题表征是根据卡片的面，而不是整张卡。

所有结果的样本空间涵盖六个事件，其中，每张卡片的每一面分别是一个独立的事件 。

因为红色的那一面呈现向上的状态，所以在“有效样本空间”里，存在着三个事件，分别是：红白且红面向上这种情况，一个红面向上的红 – 红这种情况，另一个红面向上的红 – 红这种情况。

故而，正确的答案是三分之二，在三个具有相等发生概率的事件里，其中存在两个事件是红与红的相同情况 。

其两面能够“拆”成两个彼此独立的事件，这到底何原因？我们存在着这样的错觉，即红 – 红这张牌每一次仅仅会出现一回 。

我们采用穷举法，呈现为“概率树”的形式，这形式便是我们上面所讲的“平行宇宙法”，再添加上书中的配图（如下），如此一来更易于理解：

三张牌能够分裂成，（位于上图右侧的） 6个平行宇宙，其中牌面为红色的存在3个，而在这3个之中，具有2个是红 – 红牌。

瞧呀，这一道题目看起来特别容易，然而能够答对的人少之又少。同时呢，会存在一些人即便看了答案也不心服口服，最为有效的办法便是制作三张牌，切实地玩上几回，要是不服气那就来真格的。

其实，“平行宇宙法”就是一种穷举法。

只不过，我把动态过程加进去了，因为有了时间，有了空间，以及，“分裂”这个动作，我们就能够让这个计算过程可视化的同时，还能够可感知。

这样以来，也就更可以在“为什么”的基础上思考。

在本系列接下来的两篇文章之中，有一个被称作“为什么”的存在，它占据举足轻重的地位，而“为什么”这个词，是极为伟大的词汇 。

追问“为什么”，也是概率计算的“第一性原理”。

一旦做到了这一点，你就是真正聪明的概率高手。

一个人能不能开展概率计算以及进行思考，实际上确实是去判断此人是不是真正聪明的一项硬性指标。

1968年炎夏，身为数学家的爱德华·O·索普，曾在赌场攻克21点游戏，后在资本市场大显身手，作为量化金融先驱的他，与沃伦·巴菲特相遇并一同进餐。

身为两个聪明之人，待在一起之时，自然而然地便要展开招数较量。巴菲特拿定主意，准备去考验一下索普，而给出的题目具体是这样的 。

存在着三个奇异的骰子，其中每一个骰子，最多会有两个或者三个不一样的数字，利用这些特殊的骰子，来进行一场赌博游戏：

你能够挑选这三个之中“最为优秀”的那一个，然而我则选取剩余的两个当中“最为出色”的。咱们一同投掷出去，数字更大的一方获取胜利。

就算你挑选了那个你觉得“更好”的骰子，我却一直都能够在平均统计值方面胜过你。对于绝大多数人来讲，这儿最让人难以想象的一点是，压根不存在所谓“最好”的骰子。

直截了当地说，此题目令好多人陷入困扰，缘由在于但凡他们觉得理应遵循数学方面所讲的传递规则，即要是A比B更具优势，B比C更具优势，那么A就比C更具优势 。

索普答出了巴菲特的难题。

要是骰子呈现这样的情形：A的六个面上去掉别的数字，单单留下（3，3，3，3，3，3），B的六个面的数字是（6，5，2，2，2，2）没错，C的六个面的数字是（4，4，4，4，1，1），。

故而统计平均呈现出，A针对B所具备的胜率为三分之二，B针对C所拥有的胜率是九分之五，C针对A所存有的胜率为三分之二 。

故而讲，这是属于三个并非传递模样的骰子，不论你率先挑选哪一个，我皆能够寻觅到一个在概率层面战胜你的。

这究竟是什么意思？咱们接着运用那基于“平行宇宙法”的穷举法，以此来证明索普的结论。只是我没办法再画成简单的分叉图。

以B对C为例，示意如下：

横向的红色，是B的六种可能。纵向的蓝色，是C的六种可能。

两者展开对决，存在36个格子，这36个格子意味着36种可能性，换而言之，将出现36个平行宇宙。

于此之中，在打红钩这种情形之下，红获胜达20次，因而B的获胜概率是20除以36，其结果为5除以9 。

你瞧，那被认为全世界最具智慧之人所面临的难题，不是借助一个公式，而是能够明明白白地解出来，清清楚楚地呈现结果 。

概率计算，普通人只要知道这么多，就够了吗？

几乎是。

但最好再加上另外一种，就更完整了。

我们先来一道传说中的谷歌面试题：

假定处于一段高速公路之上，30分钟的时长范围之内，能够见到汽车驶过的概率为0.95 。那么，10分钟的时长范围之内，能够见到汽车驶过的概率究竟是多少呢？（假定缺省概率保持固定不变）。

解题思路如下：

把30分钟的这个结果，当作三个10分钟叠加的情况，如同扔三个骰子的情形 ，是可行的 。

二、三十分钟之内，出现汽车经过这种情况的概率是零点九五，这里面有可能是经过了单独的一辆汽车，也有可能是经过了好几辆汽车。所以呢，我们就从相反的角度去思考，三十分钟的时长内看见不了任何一辆汽车的概率是零点零五。

3，30分钟看不到任一车，这意味着三个10分钟，接连都看不到任一车。我们假定每10分钟看不到车的概率是y 。

所以，这三个时长均为10分钟的时间段，在同步出现难以见到车辆的这种情况时所具备的概率，便是y️y️y，其内在原理，与上面处于第“4”节的思考路径是相一致的。

因此在10分钟内见不到任何车辆的概率，是0.05的立方根。

而见到一辆车的概率，是出现在10分钟内的时候，用1减去这个立方根，要知道，“见到车”与“见不到任何车”的可能性加起来是100% 。

答案是大约63%。

10

类似思路的“用1减”，最有名的题目就是所谓的“生日悖论”：

要是处于一个房间之中，究竟起码得有多少人，才能够使得“其中存在某两个人的生日是在同一天”这样一种情况出现的概率大于百分之五十呢？

答案是23人。

相比直觉而言，这个数字是要低出许多的。我在很早很早之前，喜欢用这个错觉去和人打赌，而且还赢了好多好多回呢。

具体计算方法也不难，简述如下：

首先，这个问题需要换个方向去思考，接着，要去计算那种情况的概率，即连续有好几个人，他们的生日是不会出现重合状况的概率 。

2、我们作出这样的假定，人们是以依次逐个的方式进入房间。第一个人随意占据了365天中的一天，其概率为365除以365，。

首先，第二个人要想不和第一个人重合，那么第二个人就只能占据那剩余364天当中的一天，其次，这种情况下的概率是364除以365 。

4、按照这样依次进行类推，对于一个人而言，只有占据接下来363天当中的一天，才可能不去和前面两个人的那些日子产生重合，而这种情况所出现的概率是363/365；。

……

前五个人生日完全不重合的概率是：

一乘以三百六十四除以三百六十五，再乘以三百六十三除以三百六十五，接着乘以三百六十二除以三百六十五，最后乘以三百六十一除以三百六十五，结果等于百分之九十七点三 。

也就是说，看起来似乎不重合的可能性很大。

但是随着人数的增多，不重合的可能性加速降低。

这有点儿像另外一种形式上的“复利效应”。

当人数达到23的时候，不重合的概率已经低于50%了。

当房间之中存在五十个人的时候，至少会有两个人生日出现重合这种情况的概率已然高达将近百分之九十七了 。

与之相似的算法，能够用以在饭桌上进行打赌，存在着至少有两个人属于同一个星座的情况 。

请问，饭桌上有几个人的时候，你愿意和别人打这个赌？

11

即使我宣称了“零公式”，你能坚持看到这里，也很不容易。

但绝对是值得的。

听闻科学家表示，人类的大脑，兴许从天然来讲，便是一个知晓贝叶斯概率算法的机器 。

但只是一个隐形的机器。

实际上呢，人类是在很晚的时候才弄明白该怎么去计算概率的，所以呀，人类的大脑要形成对概率计算的直觉判断是相当困难的。

诸如计算机、大数据、人工智能等方面的加速发展德信竞技，还有金融市场以及全球化经济的进程，使得概率变成了现代人必须具备的“底层算法”。