德州扑克概率小知识：单挑最远距离

作者曾加发于知乎

最近突然对德州扑克产生了兴趣。

作为一种筹码类游戏，德州扑克跟多数同类游戏不一样，它可不是那种单纯依靠运气的游戏德信竞技，甚至从长远的视角来看，运气所占的比重并不高，数学以及心理学才是主导长期输赢的关键因素，其技巧性十足，这里边和数学有关的概率让我觉得特别有意思，然而翻查了一下网上的文章，发觉好多有趣的概率问题都未曾被讨论过或者未曾被充分讨论，所以就手痒痒写下了这篇文章。

预备知识：德州扑克中的大小判定

这部分内容，是用于帮助那些对规则全然不知的新手，使其能够在两分钟的规定时间内，迅速地知晓大小判定的相关情况，进而有助于领会文章后续部分内容的，而对于那些经验丰富的老手而言，是能够直接跨越过去的。

德州扑克通常由 2~10 人参加，比赛分为 4 个阶段：

翻牌前也就是 pre – flop 时，每个人开始时会有 2 张暗牌，接着进行第 1 轮下注 ；翻牌圈呢就是 flop 阶段，牌桌上会同时把 3 张公共牌翻出来，然后开展第 2 轮下注 ；转牌圈即 turn 那段时间，牌桌上会翻出第 4 张公共牌，随后进行第 3 轮下注 ；河牌圈也就是 river 的时候，牌桌上会翻出第 5 张公共牌，最后进行第 4 轮下注。

最后，每个参与进来的人所拥有的自己的2张暗着不为他人所知的牌，加上5张面向所有人的公共牌，总共7张牌，从中挑选出5张最大的牌来进行比较，牌更大的那个人赢得底池。

牌型大小如下：

德州扑克的牌型大小比较

要先去比较牌型，之后再进行点数的比较，要是全部都一样大，注意这里的注1是不同花色不存在大小之分这种情况，那么就要平分底池。

预备知识就写到这里，下面进入正文。

1 翻牌前最遥远的距离：哪两组牌单挑时，翻前胜率差最悬殊？

这本该是德扑中最基本的概率知识，但目测知道的人并不多。

有的人会毫不犹豫地说，那肯定是AA和72o了！（注2：o代表off-suited，即花色不同，类似地，s代表suited，即花色相同） 原因是，AA是翻牌前最大的牌，72o是翻牌前最小的牌，最大的牌碰到最小的牌，胜率必然差距很大了。

这句话犯了 3 个错误。

毫不怀疑，AA是翻牌前最大的牌型，72o着实小，其中不存在能构成顺子的这两张牌，然而它并非最小的牌型。

例如，72o与随机牌进行单挑，总共存在25,170,86 8,800种情形（注3：这属于一个简单的排列组合问题，25,170,868,800等于4乘以 3乘以50的阶乘除以48为阶乘除以2的阶乘，再乘以48的阶乘除以43的阶乘再除以5的阶乘） ，其中「胜」的情况有7,981,752,972种，「和」的情形有1,446503,040种，「负」的情况有15,742,612,788种，要是「和」算作1/2个「胜」，那么72o的胜率是34.584%，这是所有起手牌里第2小的牌型。

最小的牌型其实是 32o。

虽说变成顺子的可能性比较大，然而鉴于3着实是太小了，32和随机牌单挑时的胜率仅有32.303%，它在单挑里是最小的牌。

作为黑桃A对黑桃7、红心2（注释4：s代表黑桃，h代表红心，c代表草花，d代表方块），获胜概率是88.976%，相较于一对A对随机牌面73.976%的获胜概率（85.204%）而言，的确要高出许多。

而AsAh与3s2h的胜率为87.968%，所以，虽说32o比72o更小，然而其对AA的胜率相较于72o还是要高一点的。

会稍有那么些经验的人会声称：在单挑里面最为差距悬殊的情形并非是 大对子 与 二小牌相对抗，于要当对方存在着一张牌跟你是一样的、另外一张牌比你小的时候来讲的话呀，他所具备的胜率是更低的 。

AA与72o对战时，72o有可能凭借三条7、三条2或者72两对来获取胜利，然而AA与A2o对战时， A2o无法借助A取得胜利，因为对方存在两个A，如此便少了两种取胜途径，即三条A、A2两对，最为常见的取胜办法是三条2。

实际上的确是这样，举例来说，胜率是百分之九十三点五零六，其中一方是AsAh对战另一方Ac2s，显著地高出许多。

但毕竟，A2o 仍然能够怀揣着对 A2345 顺子的一丝期待，所以，就 AA 的情况而言，A2o 并非属于最小的那类牌 。

实际上，就 AA 而言，最小的牌为 A9o。其中，A9o 已然属于单挑前 18.6% 的大牌，单挑胜率是 60.773%。然而，对于 AA 来讲，它却是最差的牌。AsAh 与 Ac9s 的胜率高达 94.080%！（注 5：为何 A9o 比 A8o 的胜率更低？原因在于 A8o 能够期待 89TJQ 的顺子，可是 A9o 却没办法依靠 9TJQK 的顺子取得胜利）。

毋庸置疑，AA在单挑里是最大的牌，然而，只要对手处在A2o至A5o这个范围，就有机会期待出现A2345这样的顺子，因此，其胜率并非特别低。

就在这个时候，尽管 KK的数值是比 AA小的，然而当对手的两张牌，其中一张是为K，另外一张是小牌的时候，它凭借小牌去组建顺子的概率会低出好多好多，毕竟这是要求补充四张牌才行的呀。

因此，最悬殊的单挑对比就昭然若揭了：

KsKh vs Kc2s，胜率高达 94.923%！

2 翻牌前：两高牌 vs 小对子，谁更强？

都知道，AKs属于很大的牌，在单挑情形下，它的胜率仅仅比88+低，88+就是88、99、TT、JJ、QQ、KK、AA，它是第8大的牌。但实际上，它面对随机牌的胜率只有67.045%，意味着，平均3盘就会输一盘。

更加令人感到惊讶的是，要是对手是口袋对，哪怕是最小的那一对子，AKs也不存在优势。

比如说，对于AsKs来讲，最小的对子是2c2d，在面对AsKs这个情况时，它居然有着49.916%的胜率，基本上就是五五开的局面。

事实上，再小的口袋对，在面对两张高牌时，都不会害怕。

高牌，在面对口袋对时，所能取得的最高胜率，仅仅只不过是那53.979%，具体情况是JsTs对2c2d 。

但小对子其实也不大。

举个例子，像22这样的情况，在对于随机牌的时候，其胜率只不过是50.334%，居然并没有比在面对AKs的时候高多少。

事实上，两高牌与小对子进行特性比较之时，表示出来的特点，能够从22跟AKs的相互对比当中，略微观察查看：

【22】

以下是改写后的句子：所有口袋都可成功将其克制，其胜率处于百分之十七点一一五至百分之二十点二四七之间 。

克制有一张2的对手（62.036%~67.520%）

于全部的并非口袋的情形下，呈现出五五开的态势呢，其胜率处于百分之四十六点零二一至百分之五十四点三一五这个区间 ，。

【AKs】

被 AA 完克（胜率 12.141%）

被 KK 克制 （胜率 34.106%）

和其他口袋对五五开（胜率 45.883%~50.084%）

对 AKo 优势很小（胜率 52.492%）

让所有比它小的两张都受到克制，其胜率存在于百分之六十一点二四八至百分之七十点四四零之间 。

完克存在一种情况，此情况是有一张牌为A或者K，属于其他牌型，其胜率处于70.743%至78.591%这个范围 。

且当处于多人对局这种情形时，二十二的胜率实际上是很低的，甚至还比不上平均值，然而AKs的胜率却能够实现很好的维持状态：

不同人数入局时时，AKs 和 22 的胜率对比

在下述表格当中，给出了在不同入局人数情况的时候，各牌型于翻牌前的胜率，此胜率情况位列前20名，这里面，2人局是通过穷举方式得出的，3至6人局是运用蒙特卡洛法进行模拟的，这样得出的结果可能至多会存在万分之三左右的误差，从这个表格里能够看到，当入局人数有所增多的时候，同花色高牌的胜率排名会出现上升的情况，然而口袋对的胜率排名则会出现下降的情况，不同花色高牌的胜率排名基本上保持不变。

不同人数下各牌型翻牌前胜率（前20名）

3 翻牌后：落后方的最大翻盘率是多少？

在德州扑克里面，存不存在这样一种可能性，就是在翻牌之后，你所处的状况是落后的，然而你却有着超过五成的机会去实现翻盘呢？

那个答案无疑是确定无疑的。并且呢，作为一个颇具趣味的对照，能够发现你的翻盘比率居然比翻牌之前 AsKs 对阵 7c2d 的获胜概率（此概率为 69.303%）还要高些。

这会是两组什么样的牌型呢？

按照经验来讲，处于落后状况的一方能够拥有的翻牌机会大概主要包含这些：自身存在组成对子的可能性，存在组成三条的可能性，存在组成顺子的可能性，存在组成同花的可能性，最为理想的情形是已然听花，这里的注7阐释为差一张牌便成为同花，存在两头听顺的状况，此处的注8表明已经拥有4张连牌，且两头皆能够组成顺子 。

在这个同时，对手所拥有的牌应当不会太大，尽管仍然存在着能够组成对子以及三条这样情况，不过倒是最好是失去了可以组成顺子或者同花的那种机会才好。

事实上，这个问题有很多组答案，其中的一组答案是：

9c8d vs 6s5s，翻牌 4s,3s,3h。

目前前者领先，但是 后者的胜率高达 71.616%。

（注9，总计，45除以2的结果为990个结果，后者的情况是等于682场胜出，54场平局，254场失败）。

显然，能让后者赢的牌数量众多，只要打中7、2或者黑桃就能必定获胜，打中6或5且不打中9或8也能够赢，打中4和高牌又能够打成平局，真的称得上是「最舒服的落后」。